「n次方和公式」，也被称为N次方和公式展开定理，是数学中一个重要的公式，用于求解一个数的n次方和。
公式表达如下：
1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k = (n^(k+1))/(k+1) + (n^k)/2 + (n^(k-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2
其中，n为正整数，k为非负整数。
这个公式的推导可以通过数学归纳法进行证明。首先，我们可以验证当k=0时，公式成立。然后，假设当k=m时，公式成立，即：
1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m = (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2
接下来，我们来证明当k=m+1时，公式也成立。我们可以将1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1)拆分为两部分：
1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1) = (1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m) + (1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^m)
根据归纳假设，我们可以将第一部分展开为：
(1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m) = (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2
而第二部分可以通过公式 (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2 来展开。
将两部分相加，我们得到：
1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1) = (n^(m+2))/(m+2) + (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2
因此，当k=m+1时，公式也成立。
通过数学归纳法的证明，我们可以得出结论：「n次方和公式」成立。
这个公式在数学中有广泛的应用，特别是在求解数列、级数以及积分等问题时，可以简化计算过程，提高效率。
